In einem Jenkins Job unter dem ‚Kapitel‘ ‚Build Environment‘ kann via die Option ‚Inject environment variables to the build process‘ optional mittels ‚Evaluated Groovy script“ > ‚Groovy Script‘ ein eben solches angegeben werden.
Dazu ist aber wahrscheinlich das EnvInject Plugin notwendig!

import hudson.model.* //Importieren der Jenkins libraries
def build = Thread.currentThread().executable //Den build in dem wir laufen holen
def userCause = build.getCause(hudson.model.Cause$UserIdCause) 
//<--Jenkins nach dem user fragen
def userName = userCause?.userId ?: 'Jenkins'
['BUILD_USER': userName] //Die user variable im Environment bekannt machen.

Ein etwas ausführlicheres und komplexeres aber verständliches Beispiel ist hier documentiert.
Auch lesenswert: Jenkins: Builds mit Groovy-Scripts aufpeppen